Xusto ao norte da Igrexa de Santi Medici Cosma e Damiano atópase o chamado Trullo Sovrano. Hoxe en día utilizado como museo, foi construído arredor de 1796 por conta da familia do moi rico sacerdote Cataldo Perta, e orixinalmente chamábase Corte do Papa Cataldo. É a representación máis brillante do que é a técnica construtiva do trullo, de feito, aínda que se enmarca dentro dos canons construtivos impostos hai tempo polo conde Giangirolamo Acquaviva, é o único trullo que se desenvolve en dúas plantas. Cunha cúpula de 14 metros de altura, o frontón triangular do prospecto ascende ata o primeiro andar, ao que se accede por unha escaleira enxeñosamente esculpida nun dos muros de carga. Declarado monumento nacional en 1923, foi utilizado inicialmente como seminario onde, antes da construción do santuario dos Santos Médici, se gardaban as reliquias dos santos patróns de Alberobello.
