Just al nord de l'església de Santi Medici Cosma e Damiano es troba l'anomenat Trullo Sovrano. Actualment utilitzat com a museu, va ser construït cap a l'any 1796 per encàrrec de la família del ric sacerdot Cataldo Perta, i originàriament s'anomenava Cort del Papa Cataldo. És la representació més brillant de quina és la tècnica constructiva del trull, de fet, tot i que s'emmarca dins dels cànons constructius imposats fa temps pel comte Giangirolamo Acquaviva, és l'únic trullo que es desenvolupa en dues plantes. Amb una cúpula de 14 metres d'alçada, el frontó triangular del prospecte s'eleva fins al primer pis, al qual s'accedeix per una escala enginyosa tallada en un dels murs de càrrega. Declarat monument nacional l'any 1923, va ser utilitzat inicialment com a seminari on, abans de la construcció del santuari dels Sants Mèdici, es guardaven les relíquies dels sants patrons d'Alberobello.
